Ο Δρ Ζαβρός τελείωσε το Λύκειο αποφοιτώντας από το Παγκύπριο Γυμνάσιο Κύκκου στη Λευκωσία το 1973. Στη συνέχεια συνέχισε τις σπουδές του στην ιατρική στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης από όπου έλαβε το πτυχίο Ιατρικής του το 1983. Το 1987 ο Δρ Ζαβρός έλαβε την άδεια και την πιστοποίηση του από το Υπουργείο Υγείας της Κυπριακής Δημοκρατίας.
Ο Δρ Ζαβρός ειδικεύεται στη Νεφρολογία. Έκανε την εξειδίκευσή του το 1986 στο Νεφρολογικό Τμήμα του Γενικού Νοσοκομείου Ευαγγελισμός στην Αθήνα. Μετά την ολοκλήρωση της ειδικότητάς του, έλαβε την πιστοποίηση της ειδικότητάς του από το Υπουργείο Υγείας της Κυπριακής Δημοκρατίας το 1990.
Ο Δρ Ζαβρός έχει 36 χρόνια εμπειρίας στον ιατρικό τομέα και 30 χρόνια εμπειρίας ως ειδικός στη Νεφρολογία. Εργάστηκε ως ασκούμενος από το 1986 έως το 1990 στο Νεφρολογικό Τμήμα του Γενικού Νοσοκομείου Ευαγγελισμός στην Αθήνα. Με την επιστροφή του στην Κύπρο το 1990 ο Δρ Ζαβρός διηύθυνε το Νεφρολογικό Τμήμα του Γενικού Νοσοκομείου Λάρνακας. Από τον Μάιο του 1994 έως τον Ιούλιο του 1995 διετέλεσε βοηθός διευθυντής του Νεφρολογικού Τμήματος του Γενικού Νοσοκομείου Λεμεσού. Στη συνέχεια ο Δρ Ζαβρός μεταπήδησε στο Γενικό Νοσοκομείο Λευκωσίας και από τον Αύγουστο του ίδιου έτους έως το 2001 εργάστηκε ως Ειδικός Νεφρολόγος στο ίδιο νοσοκομείο. Στα τέλη του 2001 έγινε Βοηθός Διευθυντής της Νεφρολογικής Κλινικής του Γενικού Νοσοκομείου Λευκωσίας, θέση στην οποία παρέμεινε μέχρι το 2006. Τον Μάιο του 2006 ο Δρ Ζαβρός έγινε Προϊστάμενος της Νεφρολογικής Κλινικής που περιλάμβανε και την Κλινική Μεταμοσχεύσεων από το 2011 και μετά, του Γενικού Νοσοκομείου Λευκωσίας. Από τον Οκτώβριο του 2020 ο Δρ Ζαβρός προσφέρει τις υπηρεσίες του ως Ειδικός Ιατρός/Νεφρολόγος στο Γενικό Σύστημα Υγείας (ΓΕΣΥ).
Ο Δρ Ζαβρός είναι επίσης Ιδρυτικό Μέλος της Νεφρολογικής Εταιρίας Κύπρου (2009) στην οποία διετέλεσε Πρόεδρος για την περίοδο 2012-2014. Από το 1991 μέχρι το 2021 υπήρξε μέλος την Διεθνούς Νεφρολογικής Εταιρείας (ISN). Είναι μέλος της Ευρωπαϊκής Νεφρολογικής Εταιρείας ERA – EDTA, και μέλος της Ελληνικής Νεφρολογικής Εταιρείας (ENE). Έχει παρακολουθήσει και συμμετάσχει σε πέρα των 100 Ιατρικών Συνεδριών και Σεμιναρίων.